OSNOVNE TAUTOLOGIJE U ISKAZNOM RAČUNU

2 Comments 27 September 2014

Iako je izbor osnovnih tautologija nužno relativan, neke tautologije se mogu izdvojiti kao najvažnije u iskaznom računu, bilo zbog toga što opisuju tradicionalne zakone mišljenja bilo zbog toga što su nezaobilazne u pojednostavljivanju formula. Sada ćemo ih navesti:

Zakoni mišljenja:

Zakon neprotivrečnosti:  ¬ (p ∙ ¬ p)

Zakon isključenja trećeg:  p v ¬ p

Ova dva zakona izdvojeni su još od strane Aristotela kao osnovni zakoni mišljenja. Zakon neprotivrečnosti utvrđuje kao osnovno pravilo da ne treba istovremeno tvrditi neki iskaz i njegovu negaciju, odnosno da je takva konjukcija uvek netačna. A zakon isključenja trećeg kaže da od dve mogućnosti koje su sadržane u nekom iskazu i njegovoj negaciji jedna mora biti tačna, pošto treća mogućnost ne postoji.

Pravila o konjukciji i disjunkciji

Sledeća pravila važe za konjukciju i disjunkciju, a opisana su preko tautologija koje su u osnovi ekvivalencije:

Pravilo komutacije:

p ∙ q = q ∙ p

p v q = q v p

Pravilo idempotencije:

p ∙ p = p                        p v p = p

Pravilo asocijacije:

p ∙ (q ∙ r)  = (p ∙ q) ∙ r

p v (q v r)  = (p v q) v r

Pravilo distribucije:

p ∙ (q v r)  =  (p ∙ q) v (p ∙ r)

p v (q ∙ r)  =  (p v q) ∙ (p v r)

Pravilo apsorpcije:

p ∙ (p v q) = p

p v (p ∙ q) = p

Da opišemo ukratko ova pravila. Pravilo komutacije kaže da se mesta članova konjukcije i disjunkcije mogu zameniti, a da se ne promeni njena vrednost (na primer, implikacija nija komutativna). Pravilo idempotencije kaže da je dva puta tvrditi neki iskaz bilo u konjukciji ili u disjunkciji isto što i jednom tvrditi taj iskaz. Pravilo asocijacije da se zagrade u konjukcijama i disjunkcijama mogu pomerati. Pravilo distribucije da se konjukcija i disjunkcija ponašaju kao množenje i sabiranje u običnoj algebri p ∙ (q+r) = pq + pr. Pravilo o apsorpciji da u gornjoj kombinaciji q ne utiče na vrednost iskaza koji je identičan sa p.

Pravila transformacije logičkih operacija

Važno je  znati kako se jedna logička operacija može svesti na neku drugu, ili kada se poništava kao u pravilu o dvostrukoj negaciji:

¬ ¬ p = p

Pravilo o ekvivalenciji:

(p = q) = (p → q) ∙ (q → p)

ekvivalencija je jednaka konjukciji dve implikacije, kao u gornjoj formuli.

Pravilo o implikaciji:

p → q = ¬ p v q

prema gornjoj formuli se implikacija može zameniti disjunkcijom negacije antecedensa i konsekvensa implikacije.

De Morganovi zakoni:

¬ (p ∙ q) = ¬ p  v ¬ q

¬ (p v q) = ¬ p ∙ ¬ q

koji opisuju kako se vrši negacija konjukcija i disjunkcija.

Osim ovih tautologija koje su ekvivalencije, važne su i tautologije koje su implikacije:

((p → q) ∙ p)  → q        (modus ponens)

((p → q) ∙ ¬ q)  → ¬ p       (modus tollens)

((p → q) ∙ (p→ ¬ q)) → ¬ p           (reductio ad absurdum)